Algèbre linéaire Exemples

$- 7 y^{2} + z y - x = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = - 7$ , $b = z$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 4 \cdot (- 7 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 7}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} + 28 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 3.1.2

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{2 \cdot - 7}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$ .

$y = \frac{z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} + 28 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 4.1.2

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{2 \cdot - 7}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$ .

$y = \frac{z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{z + \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} + 28 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 5.1.2

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{2 \cdot - 7}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$y = \frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{- 14}$ .

$y = \frac{z \pm \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{z - \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{z + \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

$y = \frac{z - \sqrt{z^{2} - 28 x}}{14}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{z^{2} - 28 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$z^{2} - 28 x \geq 0$

Étape 8

Résolvez $z$ .

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Étape 8.1

Ajoutez $28 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$z^{2} \geq 28 x$

Étape 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{z^{2}} \geq \sqrt{28 x}$

Étape 8.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | \geq \sqrt{28 x}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{28 x}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Réécrivez $28 x$ comme $2^{2} \cdot (7 x)$ .

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Étape 8.3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$| z | \geq \sqrt{4 (7) x}$

Étape 8.3.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 7 x}$

Étape 8.3.2.1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$| z | \geq \sqrt{2^{2} \cdot (7 x)}$

Étape 8.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | \geq | 2 | \sqrt{7 x}$

Étape 8.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| z | \geq 2 \sqrt{7 x}$

Étape 8.4

Écrivez $| z | \geq 2 \sqrt{7 x}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 8.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$z \geq 0$

Étape 8.4.2

Dans la partie où $z$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$z \geq 2 \sqrt{7 x}$

Étape 8.4.3

Déterminez le domaine de $z \geq 2 \sqrt{7 x}$ et déterminez l’intersection avec $z \geq 0$ .

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Étape 8.4.3.1

Déterminez le domaine de $z \geq 2 \sqrt{7 x}$ .

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Étape 8.4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{7 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 x \geq 0$

Étape 8.4.3.1.2

Divisez chaque terme dans $7 x \geq 0$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 8.4.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x \geq 0$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 8.4.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.3.1.2.3.1

Divisez $0$ par $7$ .

$x \geq 0$

Étape 8.4.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $z$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 8.4.3.2

Déterminez l’intersection de $z \geq 0$ et $[0, \infty)$ .

$z \geq 0$

Étape 8.4.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$z < 0$

Étape 8.4.5

Dans la partie où $z$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- z \geq 2 \sqrt{7 x}$

Étape 8.4.6

Déterminez le domaine de $- z \geq 2 \sqrt{7 x}$ et déterminez l’intersection avec $z < 0$ .

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Étape 8.4.6.1

Déterminez le domaine de $- z \geq 2 \sqrt{7 x}$ .

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Étape 8.4.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{7 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 x \geq 0$

Étape 8.4.6.1.2

Divisez chaque terme dans $7 x \geq 0$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 8.4.6.1.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x \geq 0$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.6.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 8.4.6.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.6.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{7}$

Étape 8.4.6.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.6.1.2.3.1

Divisez $0$ par $7$ .

$x \geq 0$

Étape 8.4.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $z$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 8.4.6.2

Déterminez l’intersection de $z < 0$ et $[0, \infty)$ .

$Aucune solution$

Étape 8.4.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} z \geq 2 \sqrt{7 x} & z \geq 0 \end{cases}$

Étape 8.5

Déterminez l’intersection de $z \geq 2 \sqrt{7 x}$ et $z \geq 0$ .

$z \geq 2 \sqrt{7 x}$ et $z \geq 0$

Étape 8.6

Déterminez l’union des solutions.

$z \geq N o (Max i m u m)$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${z | z \in ℝ}$

Étape 10